Le théorème de Torricelli est un principe de la mécanique des fluides qui étudie le comportement d'un fluide dans un récipient percé d'un trou. C'est pour cette raison qu'on l'appelle aussi principe de Torricelli.
Le principe de Torricelli est utilisé en hydraulique et en dynamique des fluides pour déterminer le débit d'un liquide à travers un orifice. En général, la loi de Torricelli peut être appliquée dans différents domaines, tels que le génie civil, l'hydrologie, la physique et la météorologie, entre autres.
Ce principe a été énoncé par le physicien et mathématicien italien Evangelista Torricelli au XVIIe siècle.
Définition du théorème de Torricelli
Le principe de Torricelli stipule que la vitesse d'un liquide s'écoulant à travers le trou d'un récipient est égale à la vitesse d'un corps tombant librement d'une hauteur égale à la distance entre le niveau du liquide et le centre de gravité du trou.
Les caractéristiques du fluide pour que le théorème soit valide sont que le fluide doit être incompressible, avec une viscosité nulle et doit être soumis uniquement à la force gravitationnelle.
Ce théorème est basé sur la loi de conservation de l'énergie mécanique, qui stipule que l'énergie totale d'un système fermé est conservée. Plus précisément, c’est une conséquence du principe de Bernoulli.
Formule de Torricelli
La formule de Torricelli décrit la vitesse d'un fluide s'écoulant à travers un orifice en raison de la différence de hauteur entre le fluide dans le récipient et l'orifice de sortie. Il s'agit d'une forme dérivée de la loi de conservation de l'énergie, et elle s'exprime comme suit :
\[
v = \sqrt{2gh}
\]
Où:
- \( v \) est la vitesse de sortie du fluide (en mètres par seconde).
- \( g \) est l'accélération due à la gravité (environ \( 9,81 \, \text{m/s}^2 \)).
- \( h \) est la hauteur du fluide dans le récipient au-dessus du niveau de l'orifice de sortie (en mètres).
Explication:
- Le principe de Torricelli stipule que la vitesse à laquelle un fluide quitte un récipient est équivalente à la vitesse qu'aurait un objet s'il tombait librement d'une hauteur h (en raison de l'action de la gravité).
- L'équation est basée sur la conversion de l'énergie potentielle du fluide (due à sa hauteur) en énergie cinétique (due à la vitesse de sortie).
Cette équation est valable sous l’hypothèse que l’écoulement est idéal, sans pertes par frottement ni autres facteurs de complication.
Exemples du principe de Torricelli
Le principe de Torricelli peut être observé dans une grande variété de situations pratiques. Voici quelques exemples :
tube de Pitot
Le tube de Pitot est un instrument utilisé pour mesurer la vitesse des fluides, tels que l'air dans les avions ou les liquides dans les tuyaux.
Il est constitué de deux tubes : l'un mesure la pression statique (la pression que le fluide exerce uniformément), tandis que l'autre mesure la pression totale (qui comprend la pression dynamique due au mouvement du fluide). La différence entre ces deux pressions est utilisée pour calculer la vitesse du fluide, en appliquant le principe de Torricelli. Cet appareil est utilisé en aéronautique pour déterminer la vitesse de l'avion et est également utilisé en ingénierie pour évaluer le débit dans les systèmes hydrauliques.
Fontaines ornementales et jets d'eau
Les fontaines à eau, notamment ornementales, utilisent le principe de Torricelli pour générer des jets d'eau à travers une buse.
La vitesse de l'eau sortant de la fontaine est directement liée à la hauteur de l'eau dans le réservoir qui l'alimente. Plus la hauteur de l'eau est grande, plus la pression à la base est importante, ce qui augmente la vitesse d'écoulement à travers la buse.
Ce principe est utilisé non seulement dans les fontaines décoratives, mais aussi dans les systèmes d’irrigation et dans les phénomènes naturels tels que les geysers, où la pression de l’eau chaude pousse le liquide vers le haut.
Remplissage de bouteilles et de conteneurs
Lorsqu'un liquide est versé d'un grand récipient dans une bouteille ou un verre, le débit du liquide est influencé par la différence de hauteur entre les niveaux de liquide dans les deux récipients.
Au début, le débit est rapide en raison de la pression élevée générée par le liquide dans le grand récipient. Cependant, à mesure que le niveau de liquide dans le grand récipient diminue, la pression diminue, ce qui ralentit le débit. Ce comportement s'explique par le principe de Torricelli, qui stipule que la vitesse du fluide dans l'orifice dépend de la hauteur de la colonne de liquide.
Vidange des réservoirs et des citernes
Le principe de Torricelli s’applique également au drainage des liquides des réservoirs ou des citernes.
Lorsqu'un liquide s'écoule d'un réservoir à travers une vanne ou un orifice situé au fond, la vitesse à laquelle le liquide sort est déterminée par la différence de hauteur entre le niveau du liquide dans le réservoir et la sortie. Plus cette différence de hauteur est importante, plus la vitesse d'écoulement est importante, ce qui permet de vider le réservoir plus rapidement.
Ce phénomène est observé dans des systèmes tels que les réservoirs d’eau, les tours de stockage et les systèmes de drainage.
Trous dans les conteneurs perforés
Lorsqu'un récipient rempli d'eau présente un trou dans sa paroi latérale, l'eau commence à s'écouler en raison de la pression interne exercée par le liquide dans le récipient. Selon le principe de Torricelli, la vitesse à laquelle l'eau quitte le trou dépend de la hauteur du niveau d'eau dans le récipient par rapport au trou.
Plus la hauteur est élevée, plus la vitesse de l'eau à sa sortie est grande. Ce phénomène peut être observé dans des expériences de physique pour illustrer comment la pression et la gravité influencent l'écoulement des liquides, et il se produit dans des situations quotidiennes comme lorsqu'un récipient d'eau a un petit trou sur le côté.
Expérience de Torricelli
L'expérience de Torricelli, réalisée en 1643 par le physicien et mathématicien Evangelista Torricelli, démontra l'existence de la pression atmosphérique et fut la clé de l'invention du baromètre.
Description de l'expérience
Torricelli a rempli un tube de verre d'environ un mètre de haut avec du mercure et l'a recouvert avec son doigt. Il a ensuite inversé le tube et l'a immergé dans un récipient également rempli de mercure.
En retirant son doigt, il a observé que le niveau de mercure dans le tube diminuait, mais ne se vidait pas complètement, laissant environ 76 cm de mercure à l'intérieur du tube.
Conclusion
- Torricelli en a déduit que le mercure n'était pas tombé complètement parce que la pression atmosphérique avait poussé le mercure dans le récipient, équilibrant son poids à l'intérieur du tube.
- Au sommet du tube, il restait un espace vide (appelé « vide torricellien »), ce qui fut l'une des premières preuves expérimentales du vide dans la nature.
- Il a déterminé que la pression atmosphérique pouvait être mesurée par la hauteur du mercure dans le tube, établissant ainsi la base du premier baromètre.
Cette expérience a permis de mieux comprendre la pression atmosphérique et a jeté les bases du développement de la météorologie et de la physique des fluides.
Expérience pratique avec une bouteille de principe de Torricelli
Ci-dessous, nous montrons une expérience très simple pour illustrer le fonctionnement du théorème de Torricelli, qui peut également être utilisé pour expliquer la méthode scientifique. Cette expérience peut être réalisée avec du matériel que l’on trouve à la maison.
Matériels:
- Une bouteille en plastique vide
- Un clou ou une aiguille pointue
- Eau
Instructions:
- Remplissez la bouteille en plastique à moitié avec de l’eau.
- Percez un petit trou à peu près à mi-chemin de la bouteille avec le clou ou l'aiguille.
- Placez un récipient sous la bouteille pour recueillir l’eau qui sort par le trou.
- Ouvrez le bouchon de la bouteille pour permettre à l’air d’entrer et à l’eau de s’écouler en douceur.
Observations :
Lorsque le trou est fait dans la bouteille, l'eau commence à couler à travers le trou. La vitesse de l’eau diminue à mesure que davantage d’eau quitte la bouteille. Les particules d’eau sortant du trou décrivent la trajectoire typique d’un tir parabolique avec une vitesse initiale horizontale.
Connaissant la hauteur du trou par rapport à la surface du récipient où tombe l'eau et la distance horizontale du trou au point où tombe l'eau, nous pouvons calculer la vitesse de sortie de l'eau à tout instant.