L'équation de continuité est une loi physique qui stipule que la quantité de masse ou de fluide entrant dans un système fermé est égale à la quantité de masse ou de fluide quittant le système au cours de la même période de temps.
L'équation de continuité est valable pour tout type de fluide, à condition que le fluide soit incompressible et que l'écoulement soit stationnaire, c'est-à-dire que la vitesse et les propriétés du fluide en tout point du système ne varient pas avec le temps.
Un fluide incompressible est un fluide qui a une densité constante et qui ne change pas de volume en réponse à l'application d'une pression.
Exemples de l'équation de continuité
Voici quelques exemples de son application dans la vie quotidienne :
Flux de liquide dans un tube
Un exemple classique d’application de l’équation de continuité est l’écoulement d’un liquide dans un tube.
Supposons qu'un liquide s'écoule à travers un tube de section transversale A₁ avec une vitesse v₁ puis entre dans un tube de section transversale A₂ avec une vitesse v₂.
En utilisant cette équation, nous pouvons dimensionner les sections du tube pour modifier la vitesse d'écoulement.
Débit d'eau dans une rivière
L'équation de continuité s'applique également à l'écoulement de l'eau dans une rivière.
Cette équation est utilisée pour calculer la vitesse de l’eau en différents points de la rivière. Par conséquent, le comportement de la rivière peut être prédit dans différentes conditions, par exemple lorsque des barrages sont construits ou que des travaux d'ingénierie sont réalisés pour contrôler les crues.
Formule mathématique
En termes mathématiques, l'équation de continuité s'exprime par la formule suivante :
A₁ * v₁ = A₂ * v₂
Où:
- A₁ et A₂ sont les sections transversales du conduit ou du tuyau aux points 1 et 2 respectivement.
- v₁ et v₂ sont les vitesses du fluide aux points 1 et 2 respectivement.
Selon l'équation de continuité, si la section transversale du conduit ou du tuyau à travers lequel le fluide s'écoule reste constante, alors la vitesse du fluide et le débit sont inversement liés. Autrement dit, si la vitesse du fluide augmente, le débit diminue et vice versa.
Relation avec le principe de continuité
L'équation de continuité est étroitement liée au principe de continuité qui stipule que, dans un système à écoulement stable, la quantité de fluide entrant doit être égale à la quantité qui en sort, tant qu'il n'y a pas de pertes ou d'accumulations.
Ce principe repose sur la conservation de la masse et s'applique aux fluides incompressibles (ceux dont la densité ne change pas de manière significative, comme l'eau) et dans certains cas aux fluides compressibles (comme les gaz).
En termes pratiques, le principe de continuité implique que si un fluide se déplace dans un conduit avec des sections transversales différentes, sa vitesse changera pour maintenir le débit volumétrique ou massique constant. Par exemple, si le passage se rétrécit, le fluide doit augmenter sa vitesse pour compenser la réduction de surface, et vice versa si le passage s'élargit.
Utilisations et applications pratiques
L'équation de continuité a de multiples applications en physique et en ingénierie, notamment en mécanique des fluides. Voici quelques-unes de ses principales applications :
- Conception du système de tuyauterie : utilisé pour calculer le débit et la vitesse du fluide à différents points du système de tuyauterie, permettant de dimensionner le diamètre et la longueur du tuyau pour garantir un débit constant et uniforme.
- Analyse du débit dans les conduits et les canaux : elle est appliquée pour analyser le flux de liquides dans les conduits et les canaux, permettant de déterminer la vitesse et le débit en différents points du système.
- Optimisation de l'efficacité des systèmes hydrauliques : elle est utilisée pour optimiser l'efficacité des systèmes hydrauliques, tels que les turbines et les pompes, car elle permet de calculer le débit et la vitesse du fluide en différents points du système et de déterminer la valeur optimale. géométrie des composants du système.
Exercices résolus
Exercice 1
Un tube d'une section de 0,02 m² transporte l'eau à une vitesse de 2 m/s. Si le diamètre du tube est réduit de moitié par rapport à sa valeur initiale, quelle est la vitesse de l’eau dans le tube étroit ?
Solution:
L'équation de continuité indique que le débit volumétrique du fluide circulant dans le tube est constant tout au long de l'écoulement. On peut donc écrire :
A₁·v₁ = A₂·v₂
où A1 est la section transversale d'origine du tube, v1 est la vitesse d'origine de l'eau, A₂ est la section transversale du tube étroit et v₂ est la vitesse de l'eau dans le tube étroit.
On a A₂ = A₁/4, puisque le diamètre du tube est réduit de moitié par rapport à sa valeur initiale, donc A₂ = π(0,01 m)² = 0,000314 m².
En substituant les valeurs connues dans l'équation de continuité, on obtient :
0,02 m² × 2 m/s = 0,000314 m² × v₂
v₂ = (0,02 m² × 2 m/s) / 0,000314 m² = 127,39 m/s
Par conséquent, la vitesse de l’eau dans le tube étroit est de 127,39 m/s.
Exercice 2
Un tuyau de 0,1 m de diamètre transporte l'eau à une vitesse de 2 m/s. Si deux tuyaux de 0,05 m de diamètre sont ajoutés, quelle est la vitesse de l’eau dans chacun des plus petits tuyaux ?
Solution:
La section transversale d'un tuyau de 0,1 m de diamètre est A₁ = π(0,05 m)² = 0,00785 m². Par conséquent, le débit volumétrique de l’eau circulant dans le tuyau de 0,1 m est :
Q = A₁v₁ = 0,00785 m² × 2 m/s = 0,0157 m³/s
La section transversale d'un tuyau de 0,05 m de diamètre est A₂ = π(0,025 m)² = 0,0001963 m². Puisqu'il y a deux tuyaux de 0,05 m de diamètre, la superficie totale est A₃ = 2A₂ = 0,0003926 m². Le débit volumétrique de l’eau circulant dans les deux conduites de 0,05 m est donc :
Q = A₃·v₃
v3 = Q / A3 = 0,0157 m³/s / 0,0003926 m² = 40,11 m/s
Par conséquent, la vitesse de l’eau dans chacun des tuyaux de 0,05 m de diamètre est de 40,11 m/s.