Lorsque nous poussons un vélo pour le faire avancer, nous savons que la masse du vélo influence la quantité d’effort que nous devons appliquer. Mais que se passerait-il si au lieu de le pousser en ligne droite, on voulait le faire tourner ? C’est ici qu’entre en jeu un concept crucial de la physique rotationnelle : le moment d’inertie.
Le moment d'inertie est un concept lié à la dynamique de rotation, équivalent au rôle que joue la masse dans le mouvement linéaire.
Quel est le moment d'inertie ?
Le moment d'inertie (I) est une mesure de la difficulté à modifier l'état de rotation d'un objet autour d'un axe. C'est-à-dire, c'est la résistance qu'un objet oppose à un changement de mouvement de rotation.
Si vous avez déjà essayé d'ouvrir une porte en la poussant près des charnières plutôt que depuis le bord, vous aurez remarqué que cela demande plus d'efforts. Cela est dû au fait que le moment d’inertie dépend à la fois de la masse et de sa répartition par rapport à l’axe de rotation.
Formule du moment d'inertie
Mathématiquement, le moment d'inertie est défini comme :
Où:
- \(m \) est la masse d'un petit élément de l'objet,
- \(r \) est la distance de cette masse à l'axe de rotation,
- La somme indique que nous devons calculer ceci pour toutes les parties de l'objet.
Facteurs affectant le moment d'inertie
Le moment d’inertie dépend non seulement de la quantité de masse d’un objet, mais également de la façon dont cette masse est répartie par rapport à l’axe de rotation.
Deux objets ayant la même masse peuvent avoir des moments d’inertie très différents selon leur forme et la façon dont la masse est répartie.
1. Distribution de masse
Plus la masse est éloignée de l’axe de rotation, plus le moment d’inertie est grand. Ceci explique pourquoi il est plus difficile de faire tourner une longue tige qu'une courte, même si elles ont toutes deux la même masse.
2. Forme de l'objet
Différentes formes ont différentes équations pour calculer leur moment d'inertie. Par exemple:
- Pour un disque solide tournant autour de son centre : \( I = \frac{1}{2} MR^2 \)
- Pour un anneau mince : \( I = MR^2 \)
- Pour une tige mince tournant autour de son centre : \( I = \frac{1}{12} ML^2 \)
Comme vous pouvez le voir, les facteurs varient en fonction de la façon dont la masse est répartie dans l’objet.
3. Axe de rotation
Le moment d'inertie change si l'axe de rotation change. Par exemple, si une barre tourne autour de son centre, son moment d’inertie sera différent de celui qu’elle aurait si elle tournait autour d’une extrémité. Ce principe est connu sous le nom de théorème de Steiner ou théorème des axes parallèles.
Relation avec la deuxième loi de Newton pour la rotation
Dans le mouvement linéaire, la deuxième loi de Newton stipule que la force appliquée à un objet est égale à sa masse multipliée par l'accélération (). En rotation, l'équation équivalente est :
Où:
- \( \tau \) est le couple ou le moment de la force,
- I est le moment d'inertie,
- \( \alpha \) est l'accélération angulaire.
Cela signifie que, tout comme une masse plus importante nécessite plus de force pour accélérer un objet en ligne droite, un moment d’inertie plus important nécessite plus de couple pour modifier la vitesse de rotation d’un objet.
Calcul du moment d'inertie dans différents objets
Vous trouverez ci-dessous quelques valeurs typiques de moments d'inertie pour différents corps :
- Cylindre solide de rayon et de masse : \( I = \frac{1}{2} MR^2 \)
- Anneau mince de rayon et de masse : \( I = MR^2 \)
- Sphère solide de rayon et de masse : \[(I = \frac{2}{5} MR^2 \)
- Barre mince de longueur , tournant autour d'une extrémité : \( I = \frac{1}{3} ML^2 \)
Chacune de ces formules montre comment la distribution de masse affecte le moment d’inertie.
Exemples de la vie quotidienne
Voici quelques exemples quotidiens où ce phénomène physique apparaît :
- Roues de vélo : Lorsque vous pédalez sur un vélo, les roues ont un moment d'inertie qui rend plus difficile l'accélération ou le ralentissement de la rotation des roues. Plus le rayon de la roue ou de la masse est grand, plus le moment d'inertie est grand.
- Ouverture de porte : Si vous poussez une porte sur son bord pour l'ouvrir, c'est plus difficile que si vous poussez au centre. C'est parce que le moment d'inertie dépend de la distance par rapport à l'axe de rotation.
- Patineur sur glace : Un patineur en rotation peut modifier la vitesse de sa rotation en déplaçant ses bras vers l'intérieur ou vers l'extérieur. À mesure que vos bras se rapprochent de votre corps, leur moment d’inertie diminue et ils tournent plus rapidement.
- Ventilateurs de plafond : Les ventilateurs ont un moment d'inertie dû à leurs pales. Si les lames sont plus grandes ou plus lourdes, elles mettront plus de temps à s’arrêter ou à accélérer.