Dans le domaine de la cinématique, l’accélération angulaire constitue la pierre angulaire de la compréhension du mouvement de rotation des objets tridimensionnels.
Ce concept, immergé dans la vitesse angulaire et ses dérivées par rapport au temps, affiche une complexité mathématique et conceptuelle qui enrichit l'appréciation de phénomènes allant du mouvement des roues d'un véhicule à la contemplation des étoiles dans leur rotation cosmique. . .
Le but de cet article est de révéler les éléments essentiels de l'accélération angulaire, en mettant en évidence sa formulation mathématique, ses applications pratiques en ingénierie et en astronomie, ainsi que son lien complexe avec le moment d'inertie et la loi de conservation du moment cinétique.
Qu’est-ce que l’accélération angulaire ?
Pour comprendre l’accélération angulaire, il faut d’abord se familiariser avec la notion de vitesse angulaire. La vitesse angulaire est la vitesse à laquelle un objet tourne autour d'un point dans un intervalle de temps donné.
L'accélération angulaire, quant à elle, est la variation de la vitesse angulaire en fonction du temps. En termes plus simples, il s’agit de la rapidité avec laquelle un objet modifie sa vitesse de rotation.
Formules et unités
L'accélération angulaire est mesurée en radians par seconde carrée (rad/s²). Pour le calculer, nous utilisons la formule :
Où
- α est l'accélération angulaire
- Δω est le changement de vitesse angulaire
- Δt est l'évolution dans le temps.
Cette formule nous permet de quantifier l’évolution de la vitesse de rotation d’un objet au cours d’une période donnée.
Applications pratiques
L'accélération angulaire n'est pas seulement un concept abstrait ; Elle a des applications pratiques dans la vie quotidienne et dans des domaines aussi divers que l’ingénierie et l’astronomie.
Prenons par exemple les roues d’une voiture. Lorsque nous appuyons sur l’accélérateur, nous appliquons un couple qui induit une accélération angulaire dans les roues, faisant tourner la voiture plus rapidement.
En astronomie, l’accélération angulaire joue également un rôle crucial. Les planètes, les étoiles et les galaxies sont en rotation constante.
Moment d'inertie
Pour approfondir l’accélération angulaire, il faut mentionner le moment d’inertie (I), qui est la mesure de la répartition de la masse d’un objet par rapport à son axe de rotation. Le moment d'inertie est une pièce clé du puzzle de l'accélération angulaire, car il détermine la manière dont la masse d'un objet affecte sa capacité à modifier sa vitesse de rotation.
La relation entre le moment d'inertie, l'accélération angulaire et le couple (la force qui provoque la rotation) est résumée dans la formule suivante :
τ = je · α
Où τ est le couple appliqué à l'objet.
Cette équation révèle le lien intime entre la répartition de la masse d'un objet et sa réponse aux forces qui cherchent à le faire tourner.
Conservation du moment cinétique
La conservation du moment cinétique est une loi qui stipule que si aucun couple externe n'est appliqué à un système, le moment cinétique total du système reste constant. En d’autres termes, la rotation d’un objet ou d’un système ne changera pas à moins qu’un couple externe ne soit appliqué.
Cette loi a des conséquences étonnantes, allant de l'explication de la pirouette d'un skateur qui réduit son moment d'inertie pour tourner plus vite à la stabilité des satellites en orbite, où la conservation du moment cinétique garantit des trajectoires prévisibles.
Exemples d'exercices résolus
Ci-dessous 2 exemples d'exercices simples résolus sur l'accélération angulaire pour comprendre l'utilisation des formules :
Exercice 1 : Calcul de l'accélération angulaire
Supposons qu'un disque tourne avec une vitesse angulaire initiale de 3 rad/s et subit une accélération angulaire de 2 rad/s² pendant 4 s. Nous voulons déterminer la vitesse angulaire finale du disque.
Solution
Étant donné la formule de l'accélération angulaire :
Où wf est la vitesse angulaire finale et wi est la vitesse angulaire initiale, nous pouvons réorganiser la formule pour résoudre la vitesse angulaire finale (ωf) :
ω f = ω je + α ⋅ Δt
Nous substituons les valeurs données :
w f = 3 rad/s + ( 2 rad/s² ⋅ 4 s )
ω f = 3 rad/s + 8 rad/s = 11 rad/s
La vitesse angulaire finale du disque est donc de 11 rad/s.
Exercice 2 : Moment d'inertie et accélération angulaire
Supposons que nous ayons un cylindre solide de rayon 0,5 m et de masse 2 kg roulant sur une surface antidérapante avec une accélération angulaire de 4 rad/s². Nous voulons déterminer le moment d'inertie du cylindre.
Solution
Le moment d'inertie (I) est lié à l'accélération angulaire (α) et au couple (τ) par la formule :
τ = je · α
Pour un cylindre solide qui roule sans glisser, le couple est égal au produit de la force nette et du rayon du cylindre (τ=F⋅r). Ainsi, nous pouvons écrire :
F ⋅ r = je · α
On substitue l'expression de l'accélération angulaire :
F ⋅ r = I ⋅ 4 rad/s²
La force nette agissant sur le cylindre est simplement le poids (mg). Le rayon (r) est de 0,5 m. Nous substituons ces valeurs :
m ⋅ g ⋅ 0,5m = I ⋅ 4 rad/s²
Nous simplifions et résolvons pour
On remplace m=2 kg et g=9,8m/s²
I=2,45kg⋅m²
Le moment d'inertie du cylindre est donc de 2,45 kg⋅m²